Diffie-Hellman鍵共有

• 「Diffie-Hellman鍵共有」は、安全が確認できていない通信経路でも、送信者と受信者だけの暗号通信を開始するための方法です。
• 送信者と受信者がお互いに公開してもよい情報を共有することで、それぞれ自分で秘密の鍵を計算します。
• 秘密鍵の共有ができたら、それを使ってメッセージを暗号化（読めなくする）や復号（読めるように戻す）をします。

どうでもいいけど、「ディフィー・ヘルマン」という響きがかっこいいよね。

1. 「離散対数」によるDiffie-Hellman鍵共有の手順

「Diffie-Hellman鍵共有」の特徴は、秘密の鍵そのものはインターネットなどの通信経路で送らないことです。

えー、でも「暗号鍵を送っていないのに共有できている」なんて、そんな都合の良い話があるの？

「Diffie-Hellman方式」で利用するのは、
指数 x^y を素数 p で割った余り z についての性質¹。

この z は、残りの3つ (x, y, p) がわかれば すぐに計算できます。
しかし、y は、(x, z, p)がわかっても、かんたんには計算できません（特に p が大きくなると）。

つまり、この y が秘密の鍵に使えそうです。

1-1. お互いに秘密の整数を決める

まず、A・B の2人は 整数x と 素数p を決めます。
これは他人に知られても大丈夫。

Aさんは、2〜pまでの間に秘密の整数 a を決めます。
一方、Bさんも同様に秘密の整数 b を決めます。
a, b は復号に使う情報なので秘密です。

1-2. 公開鍵を作ってやり取りする

2人は、それぞれ x^y mod p の y に自分の数を入れて計算します。

• E = x^a mod p
• F = x^b mod p

計算した結果 E, F をそれぞれ相手に教えます。
これの情報からは a, b を求めるのは困難なので、他人に知られても大丈夫。

1-3. 公開鍵と秘密鍵から共通秘密鍵を計算する

さて、Aさんは、Bさんから受け取った F と a, p を使って、ある計算をします。

G = F^a mod p

Bさんも E と b, pを使って、同様の計算をします。

H = E^b mod p

さて、2人が別々に計算した G と H は、実は同じ数字になっています。
いずれも、(x^ab) mod p の結果だからです。

1-4. 第三者からは解読できない

一方、第三者から見えるのは、AさんとBさんがやり取りした x, p, E, F の4つの数字だけです。

「x, p, E, Fから a, b または G のどれかを求めることができるか」というのが暗号の解読です。
しかし、この問題は p が大きくなると困難なことがわかっています。
結局、(E, x, p)からa、(F, x, p)からbを求めるのと同じだからです。

ということで、晴れてAさんとBさんだけが共通に知る数 G ができました。
この G を共通の秘密鍵にして暗号通信を行います。

すごい！
素数の性質って、面白いね。

2. 楕円曲線Diffie-Hellman鍵共有

これまでの説明では、イメージしやすい「離散対数」による方式を見ましたが、Diffie-Hellman方式には、離散対数と楕円曲線計算の2種類の数学的技術を使った実装方法があります。

楕円曲線上の演算関係を利用する方法でも、「こっちは計算しやすいが、逆は計算しにくい」という性質を利用する点は同じ理屈になっています²。

さすがに頭がパンクしました。
「楕円曲線Diffie-Hellman鍵共有（ECDH）」については、また後日。

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1. – Diffie-Hellman鍵交換入門 #SSH – Qiita
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